Аффинные пространства и карточная игра Set
Недавно играл в карточную игру Set и услышал, что сеты соответствуют прямым в четырёхмерном пространстве. Про это много где написано, но я немного по-своему это понял и хочу тут кратко рассказать.
Для начала напомню бэкграунд про аффинные пространства.
Пусть K — поле и V — векторное пространство над ним. Линейная комбинация векторов из V называется аффинной, если сумма её коэффициентов равна 1. Подмножество A ⊆ V называется аффинным подпространством, если оно замкнуто относительно аффинных комбинаций. Сдвиг аффинного подпространства A + v — это тоже аффинное подпространство. Подмножество U ⊆ V является векторным подпространством тогда и только тогда, когда оно является аффинным подпространством и содержит ноль. Следовательно, для любого элемента a аффинного подпространства A множество U = A − a — это векторное подпространство. Таким образом, любое непустое аффинное подпространство — это сдвиг векторного подпространства U + a.
Для аффинного подпространства A ⊆ V и набора коэффициентов
c = (c₁, …, cₙ),
сумма которых равна единице, можно определить соответствующую операцию аффинной комбинации как функцию
f[c]: Aⁿ → A.
Такие функции удовлетворяют двум свойствам:
(1) Операция f[c], соответствующая набору
c = (0, …, 0, 1, 0, …, 0),
в котором единица стоит на i-м месте, — это проекция на i-ю координату.
(2) Подстановка аффинных комбинаций — это тоже аффинная комбинация с соответствующими коэффициентами. А именно, пусть r, s ≥ 1,
c = (c₁, …, cᵣ),
а d¹, …, dʳ — наборы из s коэффициентов, причём сумма коэффициентов каждого из этих наборов равна единице. Тогда
f[c](f[d¹](a₁, …, aₛ), …, f[dʳ](a₁, …, aₛ))
=
f[e](a₁, …, aₛ),
где
eⱼ = c₁dⱼ¹ + ⋯ + cᵣdⱼʳ.
Аффинные пространства над K можно определить аксиоматически, без вложения в векторные пространства, как множества, наделённые операциями аффинных комбинаций f[c], удовлетворяющими аксиомам (1) и (2). Размерность непустого конечномерного аффинного пространства можно определить как минимальное число n, для которого существуют n + 1 порождающих его точек.
Легко проверить, что выбор любого элемента O в аффинном пространстве A задаёт структуру векторного пространства на A, в котором линейная комбинация
c₁a₁ + c₂a₂
определяется как
f[c₁, c₂, 1 − c₁ − c₂](a₁, a₂, O).
Теперь рассмотрим случай поля из трёх элементов:
K = F₃ = {0, 1, 2}.
Пусть A — аффинное пространство над F₃. Можно проверить, что любая аффинная комбинация выражается при помощи трёх бинарных операций: двух проекций f[1, 0], f[0, 1] и ещё одной:
m = f[2, 2].
Отсюда следует, что аффинное подпространство — это подмножество, замкнутое относительно одной операции m.
Эту операцию m можно описать так:
m(a, a) = a.
Если a ≠ b, то элементы a и b порождают трёхэлементную аффинную прямую, и m(a, b) — это третий элемент этой прямой.
Таким образом, мы получаем, что на любом множестве из трёх элементов есть единственная структура одномерного аффинного пространства над F₃.
Значит, на произведении любых трёхэлементных множеств возникает структура аффинного пространства над F₃, заданная покомпонентно.
Возьмём четыре множества из трёх элементов:
X₁ = {овал, волна, ромб},
X₂ = {красный, синий, зелёный},
X₃ = {пустой, штрихованный, закрашенный},
X₄ = {1, 2, 3}.
И рассмотрим соответствующую структуру аффинного пространства на их произведении.
Каждому элементу этого произведения (x, y, z, n) сопоставим карту, на которой изображено n фигур типа x, цвета y, с закраской вида z. Всего 81 карта. Сетом называется набор из трёх карт, соответствующих аффинной прямой в этом произведении. Игра заключается в том, чтобы среди 12 случайно разложенных на столе карт на скорость найти сет.
Можно также искать двумерные сеты — наборы из 9 карт, замкнутые относительно операции m.
Ссылки:
https://en.wikipedia.org/wiki/Set_(card_game)
https://lsgm.uni-leipzig.de/lsgm/Bibliothek/Davis_Maclagan-CardGameSet.pdf
https://maa.org/math-values/on-your-mark-get-set-geometry/