Ориентационный семинар.
Следующие 2-3 лекции прочитает д.ф.-м.н., ведущий научный сотрудник ВШМ Алексей Антонович Глуцюк.
Первая лекция 10 ноября.
Семинар проходит по вторникам 13.55--15.20, в аудитории 115 КПМ. Приглашаются все желающие!
Бильярды: периодические орбиты, законы сохранения и интегрируемость.
Известно, что многие физические процессы описываются законами сохранения и принципом наименьшего действия: за данный промежуток времени определенная величина увеличивается на минимально возможную добавку. Миникурс посвящён бильярдам - одному из фундаментальных классов математических систем с вышеупомянутыми свойствами, происходящих из задач механики, физики и оптики.
Имеется ряд старых нерешенных и просто формулируемых проблем о бильярдах. Одна из них, а именно проблема существования периодической орбиты в любом многоугольном бильярде, была совсем недавно положительно решена в работе Джованни Форни с использованием теории трансляционных поверхностей и потоков Тейхмюллера -- современной активно развивающейся области математики на стыке динамических систем, геометрии и комплексного анализа. Другая, гипотеза В.Я. Иврия о несуществовании открытого множества периодических орбит -- открыта.
Выпуклый бильярд интегрируем, если существует непрерывное семейство непересекающихся замкнутых кривых, таких что всякая касательная к каждой кривой продолжается до бильярдной траектории, касающейся ее всеми своими ребрами: такие кривые называются каустиками. Эллиптические бильярды интегрируемы. Знаменитая гипотеза Бирхгофа утверждает, что интегрируемы только они. Совсем недавно Искусственный Интеллект представил длинный препринт, где, как утверждается, получено её доказательство. Оно не проверено. Открытая проблема -- дать концептуальное доказательство, проясняющее суть дела.
Мы покажем, как бильярды возникают в классической механике и что преобразование бильярда на пространстве ориентированных прямых сохраняет каноническую форму площади. Мы обсудим вышеупомянутые открытые проблемы и текущее состояние дел в их исследовании.
Если время позволит, поговорим об аналогичных проблемах для проективных бильярдов, введенных С.Л. Табачниковым, обобщающих бильярды на поверхностях постоянной кривизны: плоскости, сфере и плоскости Лобачевского.
Предыдущие лекции ориентационного семинара и некоторые лекции, которые читают наши преподаватели можно посмотреть на канале Лекторий ВШМ.